\section{Samlet model}
\label{modelbestemmelse-samletmodel}
I dette afsnit samles modellerne af de tre delsystemer, gennemgået i afsnit \ref{modellering-DC-motor}, \ref{modelbestemmelse-gearing} og \ref{modelbestemmelse-kran}, til tre overføringsfunktioner for det samlede system. Disse tre ønskes som vist i ligning \eqref{eq:g-theta}, \eqref{eq:g-xdot} og \eqref{eq:g-ydot}.
\begin{IEEEeqnarray}{l}
G_{\Theta_\text{last}}(s) = \frac{\Theta_\text{last}(s)}{\dot{X}_\text{slæde}(s)} \label{eq:g-theta}\\\nonumber\\
G_{\dot{X}_\text{slæde}}(s) = \frac{\dot{X}_\text{slæde}(s)}{U_\text{e,x}(s)} \label{eq:g-xdot}\\\nonumber\\
G_{\dot{Y}_\text{last}}(s) = \frac{\dot{Y}_\text{last}(s)}{U_\text{e,y}(s)} \label{eq:g-ydot}
\end{IEEEeqnarray}
Overføringsfunktionerne bestemmes med udgangspunkt i geometri- og momentligningerne, som er opsummeret i tabel \ref{tab:geometri-moment}.
\begin{table}[h]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Geometriskeligninger: & \\\hline
$\ddot{x}_\text{last} = \ddot{x}_\text{slæde} + \cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} +2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right) + \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right)$ & $(4.16)$\\
$\ddot{y}_\text{last} = \cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) - \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right)$ & $(4.16)$ \\
\hline\multicolumn{2}{l}{ }\\\hline
Moment ligninger: & \\\hline
$M_\text{slæde} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} = F_{\text{s}} \cdot \sin(\theta_{\text{last}}) + \frac{\tau_\text{wire,x}}{r_\text{5,x}} - B_\text{v,slæde} \cdot \dot{x}_\text{slæde}$ & $(4.18)$ \\
$M_\text{last} \cdot \ddot{x}_\text{last} = - F_{\text{s}} \cdot \sin(\theta_{\text{last}}) - F_{\psi} \cdot \cos(\theta_{\text{last}})
$ & $(4.19)$ \\
$M_\text{last} \cdot \ddot{y}_\text{last} = M_\text{last} \cdot g - F_{\text{s}} \cdot \cos(\theta_{\text{last}}) + F_{\psi} \cdot \sin(\theta_{\text{last}})$ & $(4.19)$\\\hline
\end{tabular}
\caption{Geometri- og momentligninger for systemet, med tidsafhængighedsnotationen $(t)$ undladt.}
\label{tab:geometri-moment}
\end{table}
\subsection{Overføringsfunktionen $G_{\Theta_\text{last}}(s)$}
\label{modelbestemmelse-gtheta}
Denne overføringsfunktion bestemmes ved at et udtryk for $\Theta_\text{last}(s)$ som funktion af $\dot{X}_\text{slæde}(s)$ findes, dog regnes der indtil videre i tidsdomænet. Først opstilles ligning \eqref{eq:gtheta1} ved at isolere $F_\text{s}$ i $x$-delen af ligning \eqref{eq:momentlast}, hvilket derefter indsættes i $y$-delen af ligning \eqref{eq:momentlast}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gtheta1}
\ddot{y}_\text{last} = \frac{\ddot{x}_\text{last} \cdot \cos(\theta_{\text{last}})}{\sin(\theta_{\text{last}})} + \frac{F_\psi \cdot \cos^2(\theta_{\text{last}})}{M_\text{last} \cdot \sin(\theta_{\text{last}})} + \frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_{\text{last}})}{M_\text{last}} + g
\end{IEEEeqnarray}
Ved indsættelse af $x$- og $y$-delen af ligning \eqref{eq:kran-geo-lastacc} fåes ligning \eqref{eq:gtheta2}.
\begin{IEEEeqnarray}{lll}
\label{eq:gtheta2}
\ddot{y}_\text{last} &~=~&\cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) - \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right)\nonumber\\
&~=~&\frac{\ddot{x}_\text{slæde} \cdot \cos(\theta_\text{last})}{\sin(\theta_\text{last})} + \cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) + \frac{\cos^2(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} +2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right)}{\sin(\theta_\text{last})}\nonumber\\
&&+~\frac{F_\psi \cdot \cos^2(\theta_{\text{last}})}{M_\text{last} \cdot \sin(\theta_{\text{last}})} + \frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_{\text{last}})}{M_\text{last}} + g
\end{IEEEeqnarray}
Denne ligning \eqref{eq:gtheta2} kan, ved hjælp af trigonometriske regneregler, reduceres og isoleres for $\ddot{\theta}_\text{last}$, hvilket giver ligning \eqref{eq:gtheta-final}. Desuden er formel \eqref{eq:gaffelfrik} anvendt.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gtheta-final}
\ddot{\theta}_\text{last} = \frac{- {\color{red}\ddot{x}_\text{slæde} \cdot \cos(\theta_{\text{last}})} - 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} - {\color{blue}g \cdot \sin(\theta_{\text{last}})}}{{\color{green}l_\text{s}}} - \frac{\psi \cdot \dot{\theta}_\text{last}}{M_\text{last} \cdot l_\text{s}^2}
\end{IEEEeqnarray}
Af ligning \eqref{eq:gtheta-final} ses det, med {\color{green}grøn}, hvordan vinkelaccelerationen mindskes når snorlængden øges. Desuden fremgår det, med {\color{blue}blå}, at tyngdeaccelerationen betyder mindre for vinkelaccelerationen i takt med, at vinklen går mod nul. Ydermere ses det, med {\color{red}rød}, at slædens acceleration betyder mest for vinkelaccelerationen, når vinklen går mod nul.
\input{analyse/linearisering.tex}
\subsection{Overføringsfunktionen $G_{\dot{X}_\text{slæde}}(s)$}
\label{modelbestemmelse-gxdslaede}
Denne overføringsfunktion bestemmes ved, at et udtryk for $\dot{X}_\text{slæde}(s)$ som funktion af $U_\text{e,x}(s)$ findes, dog regnes der indtil videre i tidsdomænet. Der tages udgangspunkt i ligning \eqref{eq:momentslaede}, hvori $F_\text{s}$ og $\tau_\text{wire,x}$ skal behandles.\\
Kraften, $F_\text{s}$, som lasten påvirker slæden med, er beskrevet ved lastens centripetalkraft. Da friktionen, $F_\psi(t)$, er vinkelret på $F_\text{s}$ indgår den ikke i udtrykket for den resulterende kraft i $F_\text{s}$-retningen. Derfor afhænger den, som vist i ligning \eqref{eq:gxdslaede-resfs}, kun af tyngdekraften og centripetalkraften. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-resfs}
M_\text{last} \cdot a_\text{c} = F_\text{s} - M_\text{last} \cdot g \cdot \cos(\theta_\text{last})
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $a_\text{c}$ er centripetalaccelerationen [$\acc$]
\end{tabbing}
Centripetalaccelerationen er givet ved den kvadreret hastighed over radius af cirklen, hvilket i dette tilfælde derfor kan udtrykkes som ligning \eqref{eq:gxdslaede-ac} \citep{physics:book}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-ac}
a_\text{c} = \frac{\left(\dot{\theta}_\text{last} \cdot l_\text{s}\right)^2}{l_\text{s}} = \dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s}
\end{IEEEeqnarray}
Dermed kan $F_\text{s}$ isoleres i ligning \eqref{eq:gxdslaede-resfs} og udtrykkes, som vist i ligning \eqref{eq:gxdslaede-fs}, ved indsættelse af ligning \eqref{eq:gxdslaede-ac}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-fs}
F_\text{s} = M_\text{last} \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right)
\end{IEEEeqnarray}
Ligning \eqref{eq:gxdslaede-fs} indsættes i ligning \eqref{eq:momentslaede}, da dette er lastens påvirkningen af slæden gennem snoren. Isoleret for $\tau_\text{wire,x}$ giver dette udtrykket i ligning \eqref{eq:gxdslaede-tauwirex}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-tauwirex}
\tau_\text{wire,x} =&~& M_\text{slæde} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x} -  M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \nonumber\\
&& +~B_\text{v,slæde} \cdot \dot{x}_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x}
\end{IEEEeqnarray}
Motorens vinkelhastighed, $\omega_\text{m,x}$, og -acceleration, $\dot{\omega}_\text{m,x}$, kan udtrykkes ved slædens hastighed, $\dot{x}_\text{slæde}$, og acceleration, $\ddot{x}_\text{slæde}$, som vist i ligning \eqref{eq:gxdslaede-omegamx}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-omegamx}
\omega_\text{m,x} = \frac{\dot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} ~\wedge~ \dot{\omega}_\text{m,x} = \frac{\ddot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}
\end{IEEEeqnarray}
Udtrykket for $\tau_\text{wire,x}$ i ligning \eqref{eq:gxdslaede-tauwirex} indsættes i ligning \eqref{eq:gearing}, som beskriver sammenhængen mellem $\tau_\text{wire,x}$ og $\tau_\text{m,x}$. Omskrives motorens vinkelhastighed og -acceleration samtidig, fremkommer ligning \eqref{eq:gxdslaede-taumx}. 
\begin{IEEEeqnarray}{llll}
\label{eq:gxdslaede-taumx}
\tau_\text{m,x}~&=~& M_\text{slæde} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} + B_\text{v,slæde} \cdot \dot{x}_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} \nonumber\\
&& -~M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} \nonumber\\
&& +~J_\text{gear,x} \cdot \frac{\ddot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + B_\text{gear,x} \cdot \frac{\dot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}\nonumber\\
&= &\left(M_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} + \frac{J_\text{gear,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}\right) \cdot \ddot{x}_\text{slæde} + \left(B_\text{v,slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} + \frac{B_\text{gear,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}\right) \cdot \dot{x}_\text{slæde}\nonumber\\
&& -~M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\nonumber\\
&= &J_\text{total,x} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} + B_\text{total,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde}\nonumber\\
&& -~M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $J_\text{total,x} = M_\text{slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} + \frac{J_\text{gear,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}$ \\
\> $B_\text{total,x} = B_\text{v,slæde} \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x} + \frac{B_\text{gear,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}}$
\end{tabbing}
Af ligning \eqref{eq:mekaniskendelig} fremgår $\tau_\text{m,x}$ udtrykt ved spændingen på motoren, $u_\text{e,x}$, hvorved ligning \eqref{eq:gxdslaede-taumx} kan omskrives til ligning \eqref{eq:gxdslaede-uex}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-uex}
u_\text{e,x}~&=~& \frac{K_\text{e,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + \left(J_\text{total,x} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} + B_\text{total,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \nonumber\\
&& -~\left(M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}}
\end{IEEEeqnarray}
For at se hvilken betydning $u_\text{e,x}$ har for $\dot{x}_\text{slæde}$ i ligning \eqref{eq:gxdslaede-uex}, omskrives denne til ligning \eqref{eq:gxdslaede-xdslaede}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gxdslaede-xdslaede}
\dot{x}_\text{slæde}~&=~& \left({\color{red}\frac{u_\text{e,x} \cdot K_\text{e,x}}{R_\text{e,x}}} - {\color{blue}J_\text{total,x} \cdot \ddot{x}_\text{slæde}}\right) \cdot \frac{N_\text{x} \cdot R_\text{e,x} \cdot r_\text{5,x}}{K_\text{e,x}^2 + B_\text{total,x} \cdot N_\text{x} \cdot R_\text{e,x} \cdot r_\text{5,x}}\nonumber\\
&& +~\left({\color{green}\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s}} + {\color{orange}g \cdot \cos(\theta_\text{last})}\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot \frac{M_\text{last}  \cdot N_\text{x}^2 \cdot R_\text{e,x} \cdot r_\text{5,x}^2}{K_\text{e,x}^2 + B_\text{total,x} \cdot N_\text{x} \cdot R_\text{e,x} \cdot r_\text{5,x}}
\end{IEEEeqnarray}
Fra ligning \eqref{eq:gxdslaede-xdslaede} ses det, med {\color{red}rød}, hvorledes en spænding bidrager direkte, kun påvirket af konstanter, til en hastighed med samme fortegn. Desuden modarbejder systemets inerti, {\color{blue}blå}, hastigheden, sålænge slædens acceleration har samme fortegn som hastigheden og vice versa. Endvidere fremgår det, med {\color{green}grøn}, at lastens centripetalkraft bidrager til slædens hastighed ved positive vinkler og modvirker slædens hastighed ved negative vinkler, i begge situationer, uafhængigt af vinkelhastighedens fortegn. Sidst ses, med {\color{orange}orange}, hvorledes tyngdeaccelerationen har størst betydning ved vinkler på $\pm~45\degree$ og ingen betydning har ved $0\degree$ og $\pm~90\degree$.

\subsection*{Linearisering}
Idet formel \eqref{eq:gxdslaede-uex} er ulineær er det nødvendigt at linearisere udtrykket. Der er valgt at gøre dette ved brug af en første ordens taylorapproksimation.

\textbf{Bestemmelse af arbejdspunktværdier}\\
Arbejdspunktet er valgt til når slæden står stille, hvilket vil sige::

\begin{itemize}
 \item $\dot{x}_{\text{slæde}} = 0$
 \item $\ddot{x}_{\text{slæde}} = 0$
 \item $\theta_{\text{last}} = 0$
 \item $\dot{\theta}_{\text{last}} = 0$
\end{itemize}

Ligning \eqref{eq:arbejdspunkt1} gælder derfor i arbejdspunktet.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 u_{\text{e,x}} = 0 \label{eq:arbejdspunkt1}
\end{IEEEeqnarray}

Hvilket passer godt overens med ingen kræfter påvirker slæden i x-aksens retning når den står stille.

\textbf{Bestem taylorrække approksimation}\\
Alle ulineære led er tilnærmet ved brug af en første ordens taylorrække approksimation.

%u_\text{e,x}~&=~& \frac{K_\text{e,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + \left(J_\text{total,x} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} + B_\text{total,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \nonumber\\
%&& -~\left(M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}^2 \cdot l_\text{s} + g \cdot \cos(\theta_\text{last})\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}}
\begin{IEEEeqnarray*}{rll}
&-& \left(M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}(t)^2 \cdot l_\text{s}(t) + g \cdot \cos(\theta_\text{last}(t))\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}(t)) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \\
\approx &-& \left(M_\text{last}  \cdot \left(\bar{\dot{\theta}}_\text{last}^2 \cdot \bar{l}_\text{s} + g \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last})\right) \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \\
&-&\frac{M_{\text{last}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}^{2} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) -\frac{M_{\text{last}} \cdot g \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})^{2} \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t)
\\
&-& \frac{M_{\text{last}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}^{2} \cdot \bar{l}_{\text{s}} \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) 
\\
&-& \frac{M_{\text{last}} \cdot g \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) \\
&-& \frac{M_{\text{last}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}} \cdot \hat{l}_{\text{s}} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t)
%\approx~& - \frac{g \cdot \cos^{2}(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}}} \hat{\theta}(t)
\end{IEEEeqnarray*}

Dette kan forkortes betydeligt ved at insætte arbejdspunktet.

\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
&-& \left(M_\text{last}  \cdot \left(\dot{\theta}_\text{last}(t)^2 \cdot l_\text{s}(t) + g \cdot \cos(\theta_\text{last}(t))\right) \cdot \sin(\theta_\text{last}(t)) \cdot r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \\
\approx &-& \frac{g \cdot \cos^{2}(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t)
\end{IEEEeqnarray*}


Alle lineærer led og approksimerede led sættes sammen for at give en lineær beskrivelse, som vist i ligning \eqref{eq:linbeskrivelse2}.

\begin{IEEEeqnarray}{rll}
\label{eq:linbeskrivelse2}
 u_{\text{e,x}}(t) \approx~& \frac{K_\text{e,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde} (t)}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + \left(J_\text{total,x} \cdot \ddot{x}_\text{slæde} (t) + B_\text{total,x} \cdot \dot{x}_\text{slæde} (t)\right) \cdot \frac{R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}} \nonumber \\ & - \frac{g \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} R_{\text{e,x}} M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \hat{\theta}(t)
\end{IEEEeqnarray}

Der ønskes at finde en overføringsfunktion fra spændingen på motoren til til slædens hastighed. Udtryk \eqref{eq:linbeskrivelse2} er derfor laplacetransformeret og isoleret så der findes et udtryk for hastighed på slæden i forhold til motorens spænding, som i ligning \eqref{eq:U/Vlinear}.

\begin{IEEEeqnarray}{lll}
  \frac{ U_{\text{e,x}}(s)}{\dot{X}_{\text{slæde}}(s)} =~& \frac{K_\text{e,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + \frac{s \cdot J_{\text{total,x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} + \frac{B_{\text{total,x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} \nonumber \\ & - \frac{g \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \frac{\hat{\Theta}(s)}{\dot{X}_{\text{slæde}}(s)} \label{eq:U/Vlinear}
 %\frac{V(s)}{U_{\text{e,x}}(s)} = \frac{1}{\frac{K_\text{e,x}}{r_\text{5,x} \cdot N_\text{x}} + \frac{s \cdot J_{\text{total,x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} + \frac{B_{\text{total,x}} \cdot R_{\text{e,x}}}{K_{\text{e,x}}} - \frac{g \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} R_{\text{e,x}} M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}}} \cdot \frac{\hat{\Theta}(s)}{V(s)}} 
\end{IEEEeqnarray}

Ved at indsætte udtrykket for $\frac{\hat{\Theta}(s)}{\dot{X}_{\text{slæde}}(s)}$ i formel \eqref{eq:U/Vlinear}, og omskrivning kan overførselsfunktionen opskrives som.

\begin{IEEEeqnarray}{lCr}
 \frac{\dot{X}_{\text{slæde}}(s)}{U_{\text{e,x}}(s)} = \frac{s^{2} + \mathcal{A}_{\text{x}} \cdot s + \mathcal{B}_{\text{x}}}{\mathcal{C}_{\text{x}} \cdot s^{3} + \mathcal{D}_{\text{x}} \cdot s^{2} + \mathcal{E}_{\text{x}} \cdot s + \mathcal{F}_{\text{x}}}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
 Hvor: \= $\mathcal{A}_{\text{x}}$ er $\frac{\psi}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}}$ \\
  \> $\mathcal{B}_{\text{x}}$ er $\frac{g}{\bar{l}_{\text{s}}}$\\
  \> $\mathcal{C}_{\text{x}}$ er $\frac{R_{\text{e,x}} \cdot J_{\text{total,x}}}{K_{\text{e,x}}}$\\
  \> $\mathcal{D}_{\text{x}}$ er $\frac{K_{\text{e,x}}}{r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}}} + \frac{R_{\text{e,x}} \cdot J_{\text{total,x}} \cdot \psi}{K_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}^{2}} + \frac{R_{\text{e,x}} \cdot B_{\text{total,x}}}{K_{\text{e,x}}}$\\
  \> $\mathcal{E}_{\text{x}}$ er $\frac{R_{\text{e,x}} \cdot J_{\text{total,x}} \cdot g}{K_{\text{e,x}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}} + \frac{g \cdot r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot R_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}}}{K_{\text{e,x}} \cdot \bar{l}_{s}} + \frac{R_{\text{e,x}} \cdot B_{\text{total,x}} \cdot \psi}{K_{\text{e,x}} \cdot M_{\text{last}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}^{2}} + \frac{K_{\text{e,x}} \cdot \psi}{r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot M_{\text{last}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}^{2}}$\\
  \> $\mathcal{F}_{\text{x}}$ er $\frac{K_{\text{e,x}} \cdot g}{r_{\text{5,x}} \cdot N_{\text{x}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}} + \frac{R_{\text{e,x}} \cdot B_{\text{total,x}} \cdot g}{K_{\text{e,x}} \cdot \bar{l}_{\text{s}}}$
\end{tabbing}


\subsection{Overføringsfunktionen $G_{\dot{Y}_\text{last}}(s)$}
\label{modelbestemmelse-gydlast}
Denne overføringsfunktion bestemmes ved, at et udtryk for $\dot{Y}_\text{last}(s)$ som funktion af $U_\text{e,y}(s)$ findes, dog regnes der indtil videre i tidsdomænet. Grundet trisseopsætningen på kranen halveres lastens masse til disse udregninger. Bestemmelsen tager udgangspunkt i $y$-delen af ligning \eqref{eq:momentlast}.\\
Lasten påvirkes af en kraft gennem snoren, $F_\text{s}$, som genereres af $y$-motoren. Denne kraft ønskes defineret således, at en positiv kraft fra motoren giver en kraft i positiv $y-$retning. Derfor er der i ligning \eqref{eq:gydlast-fs} isoleret for $F_\text{s}$, med denne definition, og $\ddot{y}_\text{last}$ er desuden erstattet med udtrykket fra ligning \eqref{eq:kran-geo-lastacc}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gydlast-fs}
F_\text{s}~&=~& \frac{M_\text{last,y} \cdot \left(\cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) - \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right) - g\right)}{\cos(\theta_\text{last})}\nonumber\\
&& -~\frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last})}{\cos(\theta_\text{last})}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $M_\text{last,y} = \frac{1}{2} \cdot M_\text{last}$ [kg] \\
\end{tabbing}
Motorens vinkelhastighed, $\omega_\text{m,y}$, og -acceleration, $\dot{\omega}_\text{m,y}$, kan udtrykkes ved snorens hastighed, $\dot{l}_\text{s}$, og acceleration, $\ddot{l}_\text{s}$, som vist i ligning \eqref{eq:gydlast-omegamy}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gydlast-omegamy}
\omega_\text{m,y} = \frac{\dot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}} ~\wedge~ \dot{\omega}_\text{m,y} = \frac{\ddot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}
\end{IEEEeqnarray}
Da $F_\text{s} = \frac{\tau_\text{wire,y}}{r_\text{5,y}}$ kan ligning \eqref{eq:gydlast-fs} omskrives til at udtrykke $\tau_\text{m,y}$ ved anvendelse af ligning \eqref{eq:gearing}. Resultatet af dette ses i ligning \eqref{eq:gydlast-taumy}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gydlast-taumy}
\tau_\text{m,y}~&=~& \frac{M_\text{last,y} \cdot \left(\cos(\theta_\text{last}) \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) - \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right) - g\right) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last})}\nonumber\\
&& -~\frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last})} + J_\text{gear,y} \cdot \frac{\ddot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}} + B_\text{gear,y} \cdot \frac{\dot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}
\end{IEEEeqnarray}
Af ligning \eqref{eq:mekaniskendelig} fremgår $\tau_\text{m,y}$ udtrykt ved spændingen på motoren, $u_\text{e,y}$, hvorved ligning \eqref{eq:gydlast-taumy} kan omskrives til ligning \eqref{eq:gydlast-uey}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gydlast-uey}
u_\text{e,y}~&=~& \frac{M_\text{last,y} \cdot \left(- \sin(\theta_\text{last}) \cdot \left(l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} + 2 \cdot \dot{l}_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}\right) - g\right) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last})} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}}\nonumber\\
&& +~M_\text{last,y} \cdot \left(\ddot{l}_\text{s} - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2\right) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} - \frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last}) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last})} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}}\nonumber\\
&& +~J_\text{gear,y} \cdot \frac{\ddot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} + \left(B_\text{gear,y} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} + K_\text{e,y}\right) \cdot \frac{\dot{l}_\text{s}}{r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}
\end{IEEEeqnarray}
For at se hvilken betydning de forskellige faktorer har for $\dot{l}_\text{s}$, omskrives ligning \eqref{eq:gydlast-uey} til ligning \eqref{eq:gydlast-dls}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gydlast-dls}
\hspace{-10pt}
\dot{l}_\text{s}~&=~& \frac{\left({\color{red}u_\text{e,y} \cdot K_\text{e,y} \cdot N_\text{y} \cdot r_\text{5,y}} + {\color{blue}J_\text{gear,y} \cdot \ddot{l}_\text{s} \cdot R_\text{e,y}}\right) \cdot \cos(\theta_\text{last})}{- 2 \cdot M_\text{last,y} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2 \cdot \sin(\theta_\text{last}) + \left(B_\text{gear,y} \cdot R_\text{e,y} + K_\text{e,y}^2\right) \cdot \cos(\theta_\text{last})}\nonumber\\
&& +~\frac{M_\text{last,y} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2 \cdot \left({\color{green}g} + l_\text{s} \cdot \ddot{\theta}_\text{last} \cdot \sin(\theta_\text{last})\right)}{- 2 \cdot M_\text{last,y} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2 \cdot \sin(\theta_\text{last}) + \left(B_\text{gear,y} \cdot R_\text{e,y} + K_\text{e,y}^2\right) \cdot \cos(\theta_\text{last})}\nonumber\\
&& +~\frac{M_\text{last,y} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2 \cdot \left(\left(l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last}^2 - \ddot{l}_\text{s}\right) \cdot \cos(\theta_\text{last}) + \frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last})}{M_\text{last,y}}\right)}{- 2 \cdot M_\text{last,y} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2 \cdot \sin(\theta_\text{last}) + \left(B_\text{gear,y} \cdot R_\text{e,y} + K_\text{e,y}^2\right) \cdot \cos(\theta_\text{last})}
\end{IEEEeqnarray}
I ligning \eqref{eq:gydlast-dls} ses det, med {\color{red}rød}, hvordan en spænding på motoren bidrager til en hastighedsforøgelse, hvilket er i overensstemmelse med retningsdefinitionen af kraften fra motoren. Endvidere ses det, med {\color{blue}blå}, hvordan systemets inerti påvirker hastigheden alt efter accelerationen. Desuden fremgår det, med {\color{green}grøn}, hvorledes tyngdeaccelerationen altid påvirker til en hastighed i positiv $y-$retning, altså nedad. 
\subsection*{Linearisering}

Idet formel \eqref{eq:gydlast-uey} er ulineær er det nødvendigt at linearisere udtrykket. Der er valgt at gøre dette ved brug af en første ordens taylorapproksimation.

\textbf{Bestemmelse af arbejdspunktværdier}\\
Arbejdspunktet er valgt til når lasten er i stilstand, hvilket vil sige:

\begin{itemize}
 \item $\theta_{\text{last}} = 0$
 \item $\dot{\theta}_{\text{last}} = 0$
 \item $\ddot{\theta}_{\text{last}} = 0$
 \item $\dot{l}_{\text{s}} = 0$
 \item $\ddot{l}_{\text{s}} = 0$
\end{itemize}

Ligning \eqref{eq:arbejdspunkt2} gælder derfor i arbejdspunktet.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 u_{\text{e,y}} = \frac{M_{\text{last,y}} \cdot g \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \label{eq:arbejdspunkt2}
\end{IEEEeqnarray}

Det kan ses ud fra arbejdspunktsligningen at motoren ikke er slukket i arbejdspunktet, hvilket skyldes motoren skal modvirke tyngdekraften for at holdet lasten position på y-aksen. Dette vil dog ikke ske ved test på kranen idet der er en bremse til at holde lasten fast. Denne bremse er dog ikke medtaget i modellen, hvorfor arbejdspunktet er forskudt pga tyngdekraften.

\textbf{Bestem taylorrække approksimation}\\
Alle ulineære led er tilnærmet ved brug af en første ordens taylorrække approksimation.

\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
&&\frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last}(t)) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last}(t))} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} \approx \frac{F_\psi \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\bar{\theta}_\text{last})} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} + \frac{F_\psi \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y} \cdot R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) \\
&&+ \frac{\sin(\bar{\theta}_{\text{last}})^{2} \cdot F_\psi \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y} \cdot R_\text{e,y}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}})^{2} \cdot K_\text{e,y}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t)
\\\\\\
&&M_{\text{last,y}} \cdot (- l_{\text{s}}(t)) \cdot \dot{\theta}_{\text{last}}^{2}(t) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \approx M_{\text{last,y}} \cdot (- \bar{l}_{\text{s}}) \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}^{2} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} 
\\ 
&&- 2 \cdot M_{\text{last,y}} \cdot (- \bar{l}_{\text{s}}) \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) - M_{\text{last,y}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}^{2} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t)
\\\\\\
&&\frac{M_{\text{last,y}} \cdot (g+\sin(\theta_{\text{last}}(t)) \cdot (l_{\text{s}}(t) \cdot \ddot{\theta}_{\text{last}}(t) + 2 \cdot \dot{l}_{\text{s}}(t) \cdot \dot{\theta}_{\text{last}}(t))) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\theta_{\text{last}}(t)) \cdot K_{\text{e,y}}} 
\\
&\approx& \frac{M_{\text{last,y}} \cdot (g+\sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot (\bar{l}_{\text{s}} \cdot \bar{\ddot{\theta}}_{\text{last}} + 2 \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}})) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}} + \frac{2 \cdot M_{\text{last}} \cdot \bar{\dot{\theta}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{\dot{l}}_{\text{s}}(t) \\
&&+ \frac{M_{\text{last}} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot \bar{l}_{\text{s}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{\ddot{\theta}}_{\text{last}}(t) + \frac{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}_{\text{s}} \cdot \bar{\ddot{\theta}}_{\text{last}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) \\
&&+ \frac{M_{\text{last}} \cdot (g + \sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot \bar{l}_{\text{s}} \cdot \bar{\ddot{\theta}}_{\text{last}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}}
\cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) + \frac{M_{\text{last}} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot \bar{\ddot{\theta}}_{\text{last}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) \\
&&+ \frac{2 \cdot M_{\text{last}} \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}}) \cdot K_{\text{e,y}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t)
\end{IEEEeqnarray*}

Arbejspunkts værdierne kan nu indsættes for at forkorte ligningerne.

\begin{IEEEeqnarray*}{lll}
& \frac{F_\psi \cdot \sin(\theta_\text{last}(t)) \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y}}{\cos(\theta_\text{last}(t))} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} \approx \frac{F_\psi \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y} \cdot R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} \cdot \hat{\theta}(t)
\\\\\\
%M_{\text{last,y}} \cdot \ddot{l}_{\text{s}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \\
& M_{\text{last,y}} \cdot (- l_{\text{s}}(t)) \cdot \dot{\theta}_{\text{last}}^{2}(t) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} \approx 0
\\\\\\
& \frac{M_{\text{last,y}} \cdot (g+\sin(\theta_{\text{last}}(t)) \cdot (l_{\text{s}}(t) \cdot \ddot{\theta}_{\text{last}}(t) + 2 \cdot \dot{l}_{\text{s}}(t) \cdot \dot{\theta}_{\text{last}}(t))) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{\cos(\theta_{\text{last}}(t)) \cdot K_{\text{e,y}}} \\\\\\ 
\approx & \frac{M_{\text{last,y}} \cdot g \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}}
\end{IEEEeqnarray*}

Alle lineærer led og approksimerede led sættes sammen samt arbejdspunktet fratrækkes, for at give en lineær beskrivelse, som i ligning \eqref{eq:linbeskrivelse3}.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
u_{\text{e,y}}(t) \approx \frac{F_\psi \cdot r_\text{5,y} \cdot N_\text{y} \cdot R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} \cdot \hat{\theta}(t) + M_{\text{last,y}} \cdot \ddot{l}_{\text{s}}(t) \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + \nonumber \\ J_{\text{gear,y}} \cdot \frac{\ddot{l}_{\text{s}}(t)}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + (B_{\text{gear,y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + K_{\text{e,y}}) \cdot \frac{\dot{l}_{\text{s}}(t)}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}} \label{eq:linbeskrivelse3}
\end{IEEEeqnarray}

Der ønskes at finde en overføringsfunktion fra spænding på motoren til hastighed på $y$-aksen. Udtryk \eqref{eq:linbeskrivelse3} er derfor laplacetransformeret og isoleret så der findes et udtryk for hastigheden i forhold til spændingen, vist i ligning \eqref{eq:endeliglinbeskrivelse}. For at kunne finde denne sammenhæng er det valg at se bort fra vinklens indflydelse på lastens bevægelse via $y$-aksen. Dette har været nødvendigt da der for at modellere kranen er valgt at se styring i $x$- og $y$-aksen som værende uafhængige af hinanden.  Idet vinklen er valgt at se bort fra kan ændring i snorens længde bruges som udtryk for hastigheden via y-aksen. Denne tilnærmelse vil give en modelfejl der dog regnes værende ubetydelig idet der arbejdes omkring en vinkel på $0^{\text{o}}$.

\begin{IEEEeqnarray}{rll}
 \frac{U_{\text{e,y}}(s)}{\dot{L}_{\text{s}}(s)} =~& (J_{\text{gear,y}} \cdot \frac{1}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + M_{\text{last,y}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}}) \cdot s \nonumber \\ & + (B_{\text{gear,y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + K_{\text{e,y}}) \cdot \frac{1}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}} \label{eq:endeliglinbeskrivelse}
\end{IEEEeqnarray}

Ved omskrivning af ligning \eqref{eq:endeliglinbeskrivelse} kan det vises, at overføringsfunktionen giver anledning til en enkelt pol, hvilket fremgår af ligning \eqref{eq:endeliglin2}.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\label{eq:endeliglin2}
  \frac{\dot{L}_{\text{s}}(s)}{U_{\text{e,y}}(s)} = \frac{1}{(\mathcal{A}_{\text{y}} + \mathcal{B}_{\text{y}}) \cdot s + \mathcal{C}_{\text{y}}}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
 Hvor: \= $\mathcal{A}_{\text{y}}$ er $J_{\text{gear,y}} \cdot \frac{1}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}}$ \\
  \> $\mathcal{B}_{\text{y}}$ er $M_{\text{last,y}} \cdot r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}}$ \\
  \> $\mathcal{C}_{\text{y}}$ er $(B_{\text{gear,y}} \cdot \frac{R_{\text{e,y}}}{K_{\text{e,y}}} + K_{\text{e,y}}) \cdot \frac{1}{r_{\text{5,y}} \cdot N_{\text{y}}}$
\end{tabbing}

\subsection{Geometriligning $\dot{\mathbf{p}}$}
\label{kran-lineargeo}
Da det er lasthastighederne der ønskes reguleret, og disse ikke kan måles direkte, skal de estimeres på baggrund af andre målinger, gjort som angivet i formel \eqref{eq:kran-lineargeo-lasthas}. Formel \eqref{eq:kran-lineargeo-lasthas} er dog ulineær, hvorfor denne også lineariseres. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:kran-lineargeo-lasthas}
\dot{\textbf{p}} =
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{last}\\
\dot{y}_\text{last}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{slæde} + \dot{l}_\text{s} \cdot \sin\left(\theta_\text{last}\right)+ l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \cos\left(\theta_\text{last}\right) \\
\dot{l}_\text{s} \cdot \cos\left(\theta_\text{last}\right) - l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \sin\left(\theta_\text{last}\right)
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\textbf{Bestemmelse af arbejdspunktsværdier}\\
Der er valgt et arbejdspunkt, hvor lasten er i stilstand, hvilket er:
\begin{itemize}
\item $\dot{x}_\text{last} = 0$
\item $\dot{y}_\text{last} = 0$
\item $\dot{x}_\text{slæde} = 0$
\item $\theta_\text{last} = 0$
\item $\dot{\theta}_\text{last} = 0$
\item $\dot{l}_\text{s} = 0$
\end{itemize}
Formel \eqref{eq:kran-lineargeo-lasthas} er i arbejdspunktet derfor reduceret til udtrykket i formel \eqref{eq:kran-lineargeo-arbejdslasthas}, hvilket, arbejdspunktet taget i betragtning, ser fornuftigt ud. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:kran-lineargeo-arbejdslasthas}
\begin{bmatrix}
\bar{\dot{x}}_\text{last}\\
\bar{\dot{y}}_\text{last}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
\textbf{Bestem taylorrække approksimation}\\
Alle ulineære led af formel \eqref{eq:kran-lineargeo-lasthas} tilnærmes ved brug af første ordens taylorrække approksimationer. Herefter erstattes alle lineære led med arbejdspunkts- og småsignalsudtryk. 
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
\dot{x}_\text{last} &~=~& \bar{\dot{x}}_\text{last} + \hat{\dot{x}}_\text{last} \\\\
\dot{y}_\text{last} &~=~& \bar{\dot{y}}_\text{last} + \hat{\dot{y}}_\text{last} \\\\
\dot{x}_\text{slæde} &~=~& \bar{\dot{x}}_\text{slæde} + \hat{\dot{x}}_\text{slæde} \\\\
\dot{l}_\text{s} \cdot \sin(\theta_\text{last}) &~\approx~& \bar{\dot{l}}_\text{s} \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) + \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{l}_\text{s} + \bar{l}_\text{s} \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{\theta}_\text{last} \\\\
l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \cos(\theta_\text{last}) &~\approx~& \bar{l}_\text{s} \cdot \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last}) + \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{l}_\text{s} - \bar{l}_\text{s} \cdot \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{\theta}_\text{last} \\\\
\dot{l}_\text{s} \cdot \cos(\theta_\text{last}) &~\approx~& \bar{\dot{l}}_\text{s} \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last}) + \cos(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{\dot{l}}_\text{s} - \bar{\dot{l}}_\text{s} \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{\theta}_\text{last} \\\\
- l_\text{s} \cdot \dot{\theta}_\text{last} \cdot \sin(\theta_\text{last}) &~\approx~& - \bar{l}_\text{s} \cdot \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) - \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \sin(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{l}_\text{s} - \bar{l}_\text{s} \cdot \bar{\dot{\theta}}_\text{last} \cdot \cos(\bar{\theta}_\text{last}) \cdot \hat{\theta}_\text{last}
\end{IEEEeqnarray*}
Ved indsættelse af arbejdspunktsværdierne reduceres approksimationerne, hvorved formel \eqref{eq:kran-lineargeo-lasthas} er lineariseret til formel \eqref{eq:kran-lineargeo-linlasthas}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:kran-lineargeo-linlasthas}
\dot{\textbf{p}} \approx
\begin{bmatrix}
\hat{\dot{x}}_\text{last}\\
\hat{\dot{y}}_\text{last}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
\hat{\dot{x}}_\text{slæde} + \bar{l}_\text{s} \cdot \hat{\theta}_\text{last} \\
\hat{\dot{l}}_\text{s}
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray} 